刑事拘留后，犯罪嫌疑人或其法定代理人、近亲属可以在 37天内申请取保候审。具体而言，刑事拘留的最长期限为37天，包括30天的拘留时间和7天的审查批准时间。如果在这段时间内，公安机关没有提请批准逮捕，或者检察院在7天内作出不予批捕的答复，且案件需要继续侦查，那么公安机关可以依法对犯罪嫌疑人取保候审。
因此，如果犯罪嫌疑人被刑事拘留超过37天仍未被批捕，并且案件需要继续侦查，他们就有权提出取保候审的申请。申请取保候审的最佳时期通常是在被刑拘后的七天内和三十七天内，因为在这两个时间段内，相关部门会考虑是否批准取保候审。
需要注意的是，虽然法律没有明确规定具体的取保时间，但只要犯罪嫌疑人满足取保候审的条件，就可以在任何时间提出取保请求。根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条和第八十六条的规定，满足以下条件的犯罪嫌疑人可以申请取保候审：
1. 可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
2. 可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
3. 患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
4. 羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
综上所述，刑事拘留后37天内是申请取保候审的关键时期，犯罪嫌疑人或其家属应在此期间内积极提出取保候审的申请，并确保满足相关条件。